Finkurier.ru

Журнал про Деньги
6 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Платежная матрица онлайн

Платежная матрица - Презентация 122872-36

Платежная матрица

Предположим, что игрок A имеет m стратегий (обозначим их А1, А2, …, Am), а игрок B (противник) – n стратегий (B1, B2, …, Bm). Такая игра называется игрой размерности m х n . Пусть игрок A выбрал одну из своих возможных стратегий Ai. Игрок B, не зная результата выбора игрока A, выбрал стратегию Bj. Для каждой пары стратегий (Ai, Bj) определен платеж aij второго игрока первому, т.е. выигрыш игрока A. Выигрышем игрока B будет соответственно (– aij). Никакой дискриминации по отношению ко второму игроку здесь нет, т. к. величины aij могут быть и отрицательны, тогда –aij > 0. Например, a13 = –2 – выигрыш A, –a13 = 2 – выигрыш B. Такая игра называется матричной; матрица, составленная из чисел aij , называется платежной. В примере 1 платежная матрица имеет вид
Пример №1 . Игроки A и B играют в следующую игру. Игрок A записывает одно из чисел 3, 7, 8, а игрок B записывает одно из чисел 4, 5. Если сумма чисел четная, то это выигрыш игрока A . Если сумма чисел нечётная, то это выигрыш игрока B (проигрыш игрока A ). Найти платёжную матрицу и оптимальное решение.
Решение. Если сумма чисел чётная, игрок A получает выигрыш +1, иначе игрок B получает выигрыш +1 (т.е. A получает выигрыш –1). Платежная матрица:
Пример №2 . Два игрока независимо друг от друга называют по одному числу из диапазона 1-5. Если сумма чисел нечетная, то игрок 2 платит игроку 1 сумму, равную максимальному из чисел; если четная, то платит игрок 1.
Решение. Будем записывать положительные числа, как плата первому игроку, отрицательные – плата второму.
Платежная матрица игры.
Пример №3 . Небольшая частная фирма производит косметическую продукцию для подростков. В течение месяца реализуется 15, 16 или 17 упаковок товара. От продажи каждой упаковки фирма получает 75 руб. прибыли. Косметика имеет малый срок годности, поэтому, если упаковка не продана в месячный срок, она должна быть уничтожена. Поскольку производство одной упаковки обходится в 115 руб., потери фирмы составляют 115 руб., если упаковка не продана к концу месяца. Вероятности продать 15, 16 или 17 упаковок за месяц составляют соответственно 0,55; 0,1 и 0,35. Сколько упаковок косметики следует производить фирме ежемесячно? Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения? Сколько упаковок можно было бы производить при значительном продлении срока хранения косметической продукции?
Решени.
Затраты на производство: 115 руб. Доход: 115+75 = 190 руб.
Реализация только произведенной продукции по формуле: Прибыль = Цена * Объем продаж – Себестоимость * Объем производства
1125 = 15*190 – 15*115
1010 = 15*190 – 16*115
1200 = 16*190 – 16*115
895 = 15*190 – 17*115
1085 = 16*190 – 17*115
1275 = 17*190 – 17*115
Сколько упаковок косметики следует производить фирме ежемесячно?
Выгодно производить 16 упаковок исходя из средней прибыли и 15 упаковок, учитывая вероятность продаж.
Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?
1136,7 руб. исходя из средней прибыли и 1125 руб., учитывая вероятность продаж.
Сколько упаковок можно было бы производить при значительном продлении срока хранения косметической продукции?
При увеличении срока хранения продукции появляется возможность реализации всего произведенного объема продукции, т.е. сколько произвели, столько же и реализовали.
В этом случае уже выгодно производить 17 упаковок (они все равно реализуются).

Биматричные игры

Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

  • игрок А – может выбрать любую из стратегий А1,…,Аm,
  • игрок В – любую из стратегий В1,…,Вn.

При этом их совместный выбор оценивается вполне определённо: если игрок А выбрал i-ю стратегию Аi, а игрок В – k -ю стратегию Вk, то в итоге выигрыш игрока А будет равен некоторому числу aik, а выигрыш игрока В некоторому, вообще говоря, другому числу bik.
Последовательно перебирая все стратегии игрока А и все стратегии игрока В , мы сможем заполнить их выигрышами две таблицы.
Первая из таблиц описывает выигрыш игрока А , а вторая – выигрыш игрока В . Обычно эти таблицы записывают в виде матрицы.
Здесь А – платёжная матрица игрока А , В – платёжная матрица игрока В .
Таким образом, в случае, когда интересы игроков различны (но не обязательно противоположны) получаются две платёжные матрицы: одна – матрица выплат игроку А, другая – матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре – биматричная.
Равновесие Нэша – равновесие, когда каждый участник игры выбирает стратегию, которая является для него оптимальной при условии, что остальные участники игры придерживаются определенной стратегии.
Равновесие Нэша не всегда является наиболее оптимальным для участников. В этом случае говорят, что равновесие не является Парето-оптимальным.
Чистая стратегия – определенная реакция игрока на возможные варианты поведения других игроков.
Смешанная стратегия – вероятностная (не определенная точно) реакция игрока на поведение других игроков.

Читать еще:  Письмо уточнение назначение платежа без ндс

Пример №1 . Борьба за рынки сбыта.
Фирма а намерена сбыть партию товара на одном из двух рынков, контролируемых более крупной фирмой b . С этой целью она проводит подготовительную работу, связанную с определенными затратами. Если фирма b разгадает, на каком из рынков фирма а будет продавать свой товар, она примет контрмеры и воспрепятствует «захвату» рынка (этот вариант означает поражение фирмы а ); если нет, то фирма а одерживает победу. Предположим, что для фирмы а проникновение на первый рынок более выгодно, чем проникновение на второй, но и борьба на первом рынке требует от нее больших средств. Например, победа фирмы а на первом рынке приносит ей вдвое большую прибыль, чем победа на втором, но зато поражение на первом рынке полностью ее разоряет.
Составим математическую модель этого конфликта, считая фирму а игроком 1 и фирму b игроком 2. Стратегии игрока 1: А1 – проникновение на рынок 1, А2 – проникновение на рынок 2; стратегии игрока 2: В1 – контрмеры на рынке 1, В2 – контрмеры на рынке 2. Пусть для фирмы а ее победа на 1-м рынке оценивается в 2 единицы, а победа на 2-м рынке – в 1 единицу; поражение фирмы а на 1-м рынке оценивается в -10, а на 2-м в -1. Для фирмы b ее победа составляет соответственно 5 и 1 единицу, а поражение -2 и -1. Получаем в итоге биматричную игру Г с матрицами выигрышей
.
По теореме эта игра может иметь либо чистые, либо вполне смешанные ситуации равновесия. Ситуаций равновесия в чистых стратегиях здесь нет. Убедимся теперь, что данная игра имеет вполне смешанную ситуацию равновесия. Находим , .
Итак, рассматриваемая игра имеет единственную ситуацию равновесия ( x ; y ), где , . Она может быть реализована при многократном повторении игры (то есть при многократном воспроизведении описанной ситуации) следующим образом: фирма а должна использовать чистые стратегии 1 и 2 с частотами 2/9 и 7/9, а фирма b – чистые стратегии 1 и 2 с частотами 3/14 и 11/14. Любая из фирм, отклонившись от указанной смешанной стратегии, уменьшает свой ожидаемый выигрыш.

Пример №2 . Найти ситуации оптимальные по Парето и ситуации устойчивые по Нэшу для биматричной игры.
Пример №3 . Имеются 2 фирмы: первая может произвести одно из двух изделий А1 и А2, вторая – одно из двух изделий B1, B2. Если первая фирма произведет продукцию Ai (i = 1, 2), а вторая — Bj (j = 1, 2), то прибыль этих фирм (зависящая от того, являются ли эти изделия взаимодополняющими или конкурирующими), определяется таблицей №1:

Калькулятор матриц — действия с матрицами онлайн

С помощью калькулятора матриц вы сможете выполнять различные преобразования матриц, решать СЛАУ, а также находить некоторые характеристики, как, например, определитель, след и ранг. Подробнее о функционале и использовании калькулятора смотрите после блока с самим калькулятором.
Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: a T ij = aji
Выполнено действий: 373174

Как пользоваться калькулятором матриц

  1. Выберите матрицу (или матрицы) с помощью переключателей ( )
  2. Укажите размер с помощью выпадающих списков под матрицей ( × )
  3. Заполните элементы (нулевые элементы можно не заполнять.)
  4. Выберите в выпадающем списке требуемую функцию и, если требуется, введите дополнительные параметры.
  5. Нажмите кнопку .
  6. Если вывод чисел не устраивает, просто поменяйте его — доступны три варианта представления: правильные дроби (2

Ввод данных и функционал

  • В качестве элементов используются обыкновенные правильные дроби ( 1/2 , 29/7 , -1/125 ), десятичные дроби ( 12 , -0.01 , 3.14 ), а также числа в экспоненциальной форме ( 2.5e3 , 1e-2 ).
  • Длина вводимых чисел ничем не ограничена, вводите хоть 1000 цифр, правда, возможно, придётся подождать, пока будут идти вычисления!
  • Используйте для работы одну или две матрицы (чтобы выполнять операции с двумя матрицами, передвиньте переключатель второй матрицы).
  • Вставляйте результат в A или B с помощью кнопок «Вставить в A» и «Вставить в B».
  • Перетаскивайте (drag-and-drop) матрицы из результата в A или B.
  • Используйте стрелки ( ← , ↑ , → , ↓ ) для перемещения по элементам

Что умеет наш калькулятор матриц?

Вычисление выражений с матрицами

Вы можете вычислять различные арифметические выражения с матрицами, а также с результатами некоторых преобразований этих матриц.

Читать еще:  Статус 09 в платежном поручении

Из чего могут состоять выражения?

  • Целые и дробные числа
  • Матрицы A, B
  • Знаки арифметических действий: + — * /
  • Круглые скобки для изменения приоритета операций: ( )
  • Транспонирование: ^T
  • Возведение в целую степень: ^

Примеры корректных выражений

  • Cложение двух матриц: A+B , (A)+(B) , ((A) + B)
  • Возведение линейной комбинации матриц в степень: (3A — 0.5B)^5
  • Произведение транспонированной матрицы на исходную: A^TA
  • Обратная матрица в квадрате для B: B^-2

Что такое матрица?

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами. При необходимости размер записывается следующим образом: An×m .

Примеры матриц

Элементы матрицы

Элементы A обозначаются aij , где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.

Некоторые теоретические сведения

Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: a T ij = aji
Главная диагональ квадратной матрицы — диагональ, которая проходит через верхний левый и нижний правый углы. Элементы главной диагонали — aii
Единичная матрица En×n — квадратная матрица из n столбцов и n строк с единицами на главной диагонали и нулями вне её.
Ранг — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы. Обозначение: rank(A)
След — это сумма элементов, находящихся на её главной диагонали. Обозначение: tr(A) или track(A)
Умножение матрицы на число — матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.
Возведение в степень — умножение заданной матрицы саму на себя n-ое количество раз, где n – степень, в которую необходимо возвести исходную матрицу. Обозначение: A n
Обратная матрица A −1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице: A -1 ×A = A×A -1 = E
Треугольная матрица — квадратная матрица, у которой выше (верхнетреугольная матрица) или ниже (нижнетреугольная матрица) главной диагонали находятся нули.
LU-разложение — представление матрицы в виде произведения двух матриц L и U, где L — нижнетреугольная матрица с еденичной диагональю, а U — верхнетреугольная матрица. A = L·U
Сложение матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной суммой соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij+bij
Разность матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной разностью соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij-bij
Умножение матриц An×k и Bk×m — матрица Cn×m, у которой элемент (cij) равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B: cij = ai1·b1j + ai2·b2j + . + aik·bkj

13. Упрощение матричных игр

Решение матричных игр тем сложнее, чем больше размерность платежной матрицы. Поэтому для игр с платежными матрицами большой размерности отыскание оптимального решения можно упростить, если уменьшить их размерность путем исключения дублирующих и заведомо невыгодных (доминируемых) стратегий.
Определение 1. Если в платежной матрице игры все элементы строки (столбца) равны соответствующим элементам другой строки (столбца), то соответствующее этим строкам (столбцам) стратегии называются дублирующими.
Определение 2. Если в платежной матрице игры все элементы некоторой строки, определяющей стратегию АI игрока А, не больше (меньше или некоторые равны) соответствующих элементов другой строки, то стратегия АI называется доминируемой (заведомо невыгодной).
Определение 3. Если в платежной матрице игры все элементы некоторого столбца, определяющего стратегию ВI Игрока В не меньше (больше или некоторые равны) соответствующих элементов другого столбца, то стратегия ВI называется доминируемой (заведомо невыгодной).
Правило. Решение матричной игры не изменится, если из платежной матрицы исключить строки и столбцы, соответствующие дублирующим и доминируемым стратегиям.
Пример. Упростить матричную игру, платежная матрица которой имеет вид:

Bj

Из платежной матрицы видно, что стратегия А2 дублирует стратегию А5, потому любую из них можно отбросить (отбросим стратегию А5). Сравнивая почленно стратегии А1 и А4, видим, что каждый элемент строки А4 не больше соответствующего элемента строки А1. Поэтому применение игроком А доминирующей над А4 стратегии А1 всегда обеспечивает выигрыш, не меньший того, который был бы получен при применении стратегии А4. Следовательно, стратегию А4 можно отбросить. Таким образом, имеем упрощенную матричную игру с платежной матрицей вида:

Bj

Из этой матрицы видно, что в ней некоторые стратегии игрока В доминируют над другими: В3 над В2, В4 и В5. Отбрасывая доминируемые стратегии В2, В4 и В5, получаем игру 3×2, имеющей платежную матрицу вида:

Читать еще:  Перевод личных средств ип назначение платежа

Bj

В этой матрице стратегия А3 доминируется как стратегией А1, так и стратегией А2. Отбрасывая стратегию А3, окончательно получаем игру 2×2 с платежной матрицей

Bj

Эту игру уже упростить нельзя, ее надо решать рассмотренным выше алгебраическим или геометрическим методом.
Необходимо отметить, что отбрасывая дублируемые и доминируемые стратегии в игре с седловой точкой, мы все равно придем к игре с седловой точкой, т. е. к решению в чистых стратегиях. Но лучше сразу проверить, не обладает ли игра седловой точкой — это проще, чем сравнивать почленно все строки и все столбцы платежной матрицы.
Алгебраические методы решения матричных игр иногда производить проще, если использовать также следующие свойства матричных игр.
Свойство 1. Если ко всем элементам платежной матрицы прибавить (вычесть) одно и тоже число С, то оптимальные смешанные стратегии игроков не изменятся, а только цена игры увеличится (уменьшится) на это число С.
Свойство 2. Если каждый элемент платежной матрицы умножить на положительное число k, то оптимальные смешанные стратегии игроков не изменятся, а цена игры умножится на k.
Отметим, что эти свойства верны и для игр, имеющих седловую точку. Эти два свойства матричных игр применяются в следующих случаях:
1) если матрица игры наряду с положительными имеет и отрицательные элементы, то ко всем ее элементам прибавляют такое число, чтобы исключить отрицательные числа в матрице;
2) если матрица игры имеет дробные числа, то для удобства вычислений элементы этой матрицы следует умножить на такое число, чтобы все выигрыши были целыми числами.
Пример. Решить матричную игру 2х2 с платежной матрицей вида:

Bj

Платежная матрица онлайн

  1. Вам стоит сначала найти обратную матрицуA1 = A -1 , воспользовавшись сервисом по нахождению обратной матрицы;
  2. Далее, после того, как нашли матрицу A1 выполним умножение матрицA2 = A1 * B, воспользовавшись сервисом по умножению матриц;
  3. Выполним транспонирование матрицыA3 = B T (сервис по нахождению транспонированной матрицы);
  4. И последнее — найдем сумму матриц С = A2 + A3 (сервис по вычислению суммы матриц) — и получаем ответ с самым подробным решением!;

Произведение матриц

Это он-лайн сервис в два шага:

  • Ввести первый сомножитель матрицу A
  • Ввести второй сомножитель матрицу или вектор-столбец B

Умножение матрицы на вектор

Умножение матрицы на вектор можно найти, воспользовавшись сервисом умножение матриц
(Первым сомножителем будет данная матрица, вторым сомножителем будет столбец, состоящий из элементов данного вектора).

Обратная матрица

Это он-лайн сервис в два шага:

  • Введите матрицу A, для которой нужно найти обратную матрицу
  • Получите ответ с подробным решением по нахождению обратной матрицы

Определитель матрицы

Это он-лайн сервис в один шаг:

  • Введите матрицу A, для которой нужно найти определитель матрицы

Транспонирование матрицы

Здесь Вы сможете отследить алгоритм транспонирования матрицы и научиться самому решать подобные задачи.
Это он-лайн сервис в один шаг:

  • Введите матрицу A, которую надо транспонировать

Ранг матрицы

Это он-лайн сервис в один шаг:

  • Введите матрицу A, для которой нужно выполнить нахождение ранга

Собственные значения матрицы и собственные вектора матрицы

Это он-лайн сервис в один шаг:

  • Введите матрицу A, для которой нужно найти собственные вектора и собственные значения (собственные числа)

Возведение матрицы в степень

Это он-лайн сервис в два шага:

  • Введите матрицу A, которую будете возводить в степень
  • Ввести целое число q — степень

Возведение матрицы в отрицательную степень

Чтобы посмотреть результат возведения матрицы A в отрицательную степень q — нужно воспользоваться этим же сервисом «возведение матрицы в степень», только q будет отрицательным целым числом.

Комплексно-сопряженные матрицы

Этот калькулятор находит эрмитово-сопряженную матрицу и комплексно-сопряженную Дирака
Комплексно-сопряженная матрица онлайн.

Разложение матриц

Данные калькуляторы дают QR-разложение, LU-разложение, разложение Холецкого матриц онлайн:

Приведение матрицы к треугольному виду

Этот калькулятор возвращает матрицу, приведенную к верхнетреугольному виду и нижнетреугольному виду
Перейти к «треугольный вид матрицы».

Сумма матриц

Это он-лайн сервис сложения в два шага:

  • Ввести первое слагаемое матрицу A
  • Ввести второе слагаемое матрицу B

Умножение матрицы на число

Это он-лайн сервис умножения в два шага:

  • Ввести первый сомножитель матрицу A
  • Ввести второй сомножитель число q

Вычитание матриц

Это он-лайн сервис в три шага:

  • Ввести первую матрицу, которую вычитают A
  • Ввести вторую матрицу, из которой вычитают B
  • После вы получите подробное решение с результатом вычитания матриц

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector